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知识点总结

一.分式方程、无理方程的相关概念：

1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.无理方程：根号内含有未知数的方程。(无理方程又叫根式方程)

3.有理方程：整式方程与分式方程的统称。

二.分式方程与无理方程的解法 ：

1.去分母法：

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。

2.换元法：

用换元法解分式方程的一般步骤是：

②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想;

③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解;

④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去;若使最简公分母不为零，则是原方程的根。

解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。

三.增根问题：

1.增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。

2.验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3.增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。

解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。

常见考法

(1)考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主;

(2)分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。

误区提醒

(1)去分母时漏乘整数项;

(2)去分母时弄错符号;

(3)换元出错;

(4)忘记验根。

【典型例题】